如何求解以下优化问题的解题策略与解答技巧

如何进行下列关于最优化的问题探究

请查阅数值分析

最小二乘法

在我们探讨两个变量(x, y)之间的相互联系时，通常能收集到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm, ym)；将这些数据绘制在x-y直角坐标系中（如图1），若发现这些点大致位于一条直线附近，可以设定这条直线方程如(式1-1)。

Y计= a0+ a1 X(式1-1)

其中：a0、a1是任意实数

为构建这直线方程，需要确定a0和a1，运用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的差值(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi- Y计)2〕最小化为“优化标准”。

令:φ=∑(Yi- Y计)2(式1-2)

将(式1-1)代入(式1-2)中得:

φ=∑(Yi- a0- a1 Xi)2(式1-3)

当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

(式1-4)

(式1-5)

也就是说：

m a0+(∑Xi) a1=∑Yi(式1-6)

(∑Xi) a0+(∑Xi2) a1=∑(Xi, Yi)(式1-7)

得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：

a0=(∑Yi)/ m- a1(∑Xi)/ m(式1-8)

a1= [∑Xi Yi-(∑Xi∑Yi)/ m]/ ∑Xi2-(∑Xi)2/ m)

此时将a0、a1代入(式1-1)中，此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。

在回归过程中，回归的关联式不可能完全通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym)，为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越接近于 1越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越接近于 0越好。

R= [∑XiYi- m(∑Xi/ m)(∑Yi/ m)]/ SQR{[∑Xi2- m(∑Xi/ m)2][∑Yi2- m(∑Yi/ m)2]}(式1-10)＊

在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法

从前面的学习中，我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据，可以从一组测定的数据中探寻变量之间的依赖关系，这种函数关系称为经验公式。本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经验公式。假定实验测得变量之间的n个数据，x1, y1、x2, y2... xn, yn，则在平面上，可以得到n个点，这种图形称为“散点图”，从图中可以大致看出这些点大致散落在某直线近旁，我们认为x与y之间近似为一线性函数，下面介绍求解步骤。

考虑函数f(x, y) = a0 + a1x，其中a0和a1是待定常数。如果在一直线上，可以认为变量之间的关系为线性关系。但一般说来，这些点不可能在同一直线上。记εi = yi - f(xi, a0, a1)，它反映了用直线来描述yi时，计算值与实际值产生的误差。当然要求误差越小越好，但由于εi可正可负，因此不能认为总误差ε2时，函数就很好地反映了变量之间的关系，因为此时每个误差的绝对值可能很大。为了改进这一缺陷，就考虑用ε2代替ε。但是由于ε的绝对值不易作解析运算，因此，进一步用ε2代替ε。由于ε2最小可以保证每个误差都不会很大。于是问题归结为确定f(x, y)中的常数a0和a1，使ε2为最小。用这种方法确定系数的方法称为最小二乘法。

由极值原理得，即

解此联立方程得

()

(3)根据公式()，利用“Apply”函数及集合的有关运算编写一个小的程序，求经验公式；（程序编写思路为：任意给定两个集合A（此处表示温度）、B（此处表示得率），由公式()可定义两个二元函数（集合A和B为其变量）分别表示f(x, y)和ε。集合A元素求和：Apply[Plus,A]表示将加法施加到集合A上，即各元素相加，例如Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合A元素的个数，即为n; A.B表示两集合元素相乘相加;AB表示集合A与B元素对应相乘得到的新的集合。）

(4)在同一张图中显示直线及散点图；

(5)估计温度为200时产品得率。

然而，不少实际问题的观测数据，x1, y1、x2, y2... xn, yn的散点图明显地不能用线性关系来描述，但确实散落在某一曲线近旁，这时可以根据散点图的轮廓和实际经验，选一条曲线来近似表达x与y的相互关系。

问题 II下表是美国旧轿车价格的调查资料，今以x表示轿车的使用年数，y表示相应的平均价格，求x与y之间的关系。

使用年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

平均价格 2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204

(1)利用“ListPlot”函数绘出数据的散点图，注意观察有何特征？

(2)令y = f(x)，绘出数据的散点图，注意观察有何特征？

(3)利用“Line”函数，将散点连接起来，说明有何特征？

(4)利用最小二乘法，求x与y之间的关系；

(5)求y与x之间的关系；

(6)在同一张图中显示散点图及关于y的图形。

思考与练习

1.假设一组数据：x1, y1、x2, y2... xn, yn，变量之间近似成线性关系，试利用集合的有关运算，编写一简单程序：对于任意给定的数据集合，通过求解极值原理所包含的方程组，不需要给出a0、a1的计算表达式，立即得到a0、a1的值，并就本课题 I/(3)进行实验。

注：利用Transpose函数可以得到数据A的第一个分量的集合，命令格式为：

先求A的转置，然后取第一行元素，即为数据A的第一个分量集合，例如

Transpose[A]即为矩阵A

Transpose[A][[1]]=(数据A的第一个分量集合)

Transpose[A][[2]]=(数据A的第二个分量集合)

B-C表示集合B与C对应元素相减所得的集合，如B-C={b1-c1, b2-c2, ...}。

2.最小二乘法在数学上称为曲线拟合，请使用拟合函数“Fit”重新计算a0、a1的值，并与先前的结果作一比较。

1. 最小二乘法在数学上被称为曲线拟合，请运用拟合函数“适配”重新计算与的值，并与之前的成果进行对比。

注：适配函数的使用格式：

设定变量为x，对数据A进行线性适配，例如对题1中的A适配函数为：

最优化方法第二版的一个题目

解答

根据定义，设定非空集合S={x|m≤x≤n}满足：

当x属于S时，有x2属于S，这说明符合定义的参数m的值必须大于等于1或小于等于0，只有这样才能确保m属于S时，有m2属于S，即m2≤m。

符合条件的l的值必须大于等于0，小于等于1，只有这样才能确保l属于S时，有l2属于S，即l2≤l。

针对各个命题进行判断：

对于①m=1，m2=1属于S，因此必然有{l2≤l≤1，

可以得到l=1，S={1}，

②m=-√2，m2=2属于S，则-√2≤l2≤2/√2，解之可得-√2≤l≤√2；

对于③若l=√2，则√22≤m2≤√22，解之可得-√2≤m≤√2，

由符合条件的l的值必须大于等于0，小于等于1，