高效Matlab编程技巧：深入解析最优化算法与其实践Matlab实现指南
最优化策略及其Matlab程序编制的概述
编制的Matlab程序涵盖了精确线性搜索的0.618法与抛物线法、非精确线性搜索的Armijo准则、最速下降法、牛顿法、再开始共轭梯度法、BFGS算法、DFP算法、Broyden族方法、信赖域方法、解决非线性最小二乘问题的L.M算法、解决约束优化问题的乘子法、解决二次规划的有效集法、SQP子问题的光滑牛顿法以及解决约束优化问题的SQP方法等。此外，《最优化策略及其Matlab程序编制》附有大量的实例和练习题，并在附录中介绍了Matlab优化工具箱的使用方法。《最优化策略及其Matlab程序编制》既重视计算方法的实用性，又注重保持理论分析的严谨性，强调数值方法的思想和原理在计算机上的实现，读者只需具备微积分、线性代数和Matlab程序设计方面的基本知识即可学习《最优化策略及其Matlab程序编制》，《最优化策略及其Matlab程序编制》适用于数学与应用数学、信息与计算科学专业的本科生，应用数学、计算数学、运筹学与控制论专业的研究生，理工科相关专业的研究生，对最优化理论与算法感兴趣的教师及科技工作者阅读。
基于matlab的离合器优化设计软件
车辆离合器碟形弹簧性能优化及CAD系统开发
来源：作者：邵忍平黄欣娜吴永利隆凤明关键词：离合器,CAD
碟形弹簧轴向尺寸小、承载能力大、具有变刚度的非线性特性，因而在引进设备中获得广泛应用，特别是近年来在引进车辆的主离合器中，越来越多地采用了碟簧，以实现动力传递的分离与结合，因此，碟形弹簧设计的优劣，直接影响到车辆的使用性能。
为此，本文就碟簧工作特性、优化设计及CAD方法进行探讨。同时开发了实用碟簧优化软件，根据优化结果对其进行了CAD设计，绘制了各种碟簧载荷与变形特性曲线、应力与变形曲线和碟簧零件工作图。为便于用户使用，软件中采用中西文结合方式，设计了两级彩色界面菜单，从而形成了碟簧优化及CAD软件系统。这对于碟簧一体化设计及实现引进车辆离合器的国产化都具有重要意义。
碟形弹簧的变形特性
图1是碟簧的变形特性曲线。b点是离合器摩擦片未磨损时处于接合状态的工作点，该点应保证碟簧具有足够的压紧力，具备适当的储备系数。P点为碟簧被压平时的工作点，故b点应选择在曲线SP之间。当摩擦片磨损Δλ后，碟簧工作点由b移到a点，这时应使压紧力Pa接近于Pb，以保证离合器储备系数基本不变。d点为离合器彻底分离后碟簧工作点，为了保证操纵时较小的踏板力，分离点d应靠近载荷最小点c。
碟簧特性计算的相关公式
载荷P与变形λ的关系式以及出现在碟簧内圆周上边缘处的最大应力为
(1)
(2)
图1
式中:
E——材料弹性模量;
μ——材料泊松比;
H——碟簧部分内截锥高;
h——碟簧厚度;
Re——碟簧外半径;
Ri——碟簧部分内半径;
Re1——碟簧与压盘接触半径;
Ri1——支承环平均半径;
Rf——分离轴承作用半径;
β2——分离爪根部宽度系数。
碟簧必须保证离合器接合时可靠地传递发动机最大转矩，则其工作载荷为
Pb=βMemax/(fRcZc)(3)
式中:β——离合器储备系数;
Memax——发动机最大输出扭矩;
f——摩擦系数;
Rc——摩擦片平均半径;
Zc——摩擦片总工作面数。
图2
碟簧优化数学模型及方法
3.1设计变量及目标函数
碟簧的内锥高度H、厚度h以及碟簧部分内半径Ri对其工作性能有显著的影响。另外，分离点与压紧点变形λD和λb也是影响性能的主要因素，因此，考虑到结构与工作参数，确定设计变量为H、h、Ri、λb、λf，即X=[x1，x2，x3，x4，x5]=[H、h、Ri、λb、λf]。
对于车辆离合器，由于频繁接合与分离，导致摩擦片磨损，引起压力下降，使传递的扭矩出现不稳定现象。为保证离合器的储备系数及其工作可靠性，将摩擦片磨损前后碟簧工作载荷变化(|Pa-Pb|)作为一个目标函数。离合器另一个重要特性是操作的轻便性，故分离时踏板力不能过大，碟簧分离力也作为一个目标函数
式中:
Δs——每个摩擦片允许最大磨损量;
λD=λb+λf
δ1、δ2——加权因子。
3.2约束条件
(1)碟簧的高厚比H/h对其特性影响最大，只有当它控制在一定范围内时才具有负刚度。故
故
(2)摩擦片寿命要求压强不能过高，必须低于许用应力〔q〕
(3)在载荷Pb作用下碟簧变形应符合λs<λb<λp，λp=H，λs为碟簧最大载荷处变形。由式(1)得
(4)离合器彻底分离时，碟簧工作点d应靠近c点，即λd-λc
(5)碟簧强度要求
在此将强度条件作为模糊问题来处理，现引入扩增系数β(β=1.05～1.30)，通过计算其模糊强度条件为:σmax(λD)<β〔σ〕-80λ，λ为最优水平截集。
g7(X)=β〔σ〕-80λ?-σmax(λD)>0
(6)碟簧结构及工艺要求
1.2
0.15
g8(X)=Re/x3-1.2>0
g9(X)=1.8-Re/x3>0;
g10(X)=x1/(RE-x3)-0.15>0
g11(X)=0.28-x1/(RE-x3)>0
(7)碟簧变形限制
1.8<λb<13 1.0<λf<11
g12(X)=x4-1.8>0
g13(X)=13-x4>0
g14(X)=x5-1.0>0
g15(X)=11-x5>0
(8)边界条件要求
tgα=H/(RE-Ri);5°<α<11°;5
g16(X)～g23(X)
(9)碟簧工作载荷满足离合器要求
P(λb)=Pb
h1(X)=Pb-P(x4)=0
3.3优化方法
综上所述，建立起23个不等式约束、1个等式约束、2个目标函数所组成的5维非线性优化数学模型，即
(5)
在此采用混合罚函数法进行优化，其表达式为
在此实施复合惩罚函数法以实现优化，其公式表达为
运用此法成功研发了优化软件，经计算得出结果。
碟形弹簧计算机辅助设计
运用前述优化方法，可以得到碟簧的H、h、Ri、λb和λf，进而计算出所有结构参数和性能参数，并可通过调整内外径比制造出不同规格的碟簧，实现全系列设计。在此基础上，可绘制碟簧的工作特性曲线、应力变形曲线及零件工作图等，并将优化结果以图纸和数据形式输出。此外，CAD软件还设计了二级用户界面菜单，并带有三维立体字显示，供用户选择。上述CAD程序软件均采用Turbo C语言编写，在Turbo C 2.0集成开发环境下运行，实现从查阅源程序、修改原始数据、运行优化程序、查阅运行结果，直至绘制特性曲线图和零件图的整个过程，形成优化及CAD软件系统。
实例分析与探讨
某车辆离合器及碟簧的相关参数为：N=14.7kW；n=2000r/min；β=1.7；f=0.25；Zc=2；Δs=1.0mm；e=0.2；μ=0.3；〔q〕=7MPa；〔σ〕=1570MPa；E=2.06×105MPa。通过优化和CAD分析得到的结果如表1和图3～图5所示。
图3碟簧载荷变形图
可以看出，在离合器传递扭矩相同的情况下，碟簧优化的结构尺寸基本一致，不随m=Re/Ri的变化而变化，但压力、变形、应力以及碟簧外径则随m的不同而变化。当m增大时，压力Pb和Pa也随之增大，而碟簧外径De=2Re以及Ri随之变小，这是由于外径减小时，只有Ri减小，才具备足够的摩擦面积，以满足传递相同扭矩的要求，当然压力肯定是要增大的，也就是说，当结构尺寸较大时宜选小m值，当结构尺寸较小时选用较大m值为好，这样碟簧压力变化ΔP较小、分离力也较小，如表1中m=1.2和1.4两组优化结果。当m=1.7时碟簧压力变化达到23.92%，这种结果不可取，故建议m取值在1.2～1.6之间为好。因此碟簧的选取原则可按以下进行：对于大功率的结构尺寸较大的车辆离合器，碟簧宜选小m值，而对于小功率结构尺寸较小的离合器，碟簧宜选较大m值。
图4碟簧应力变形图
图5碟簧零件工作图
